数的世界：从数学概念到计算机表示

"数"有两层含义：数学上它是什么（数的分类），和计算机怎么存它（数的表示）。这两者经常被混淆。

第一层：数学上的数

数的家族树

数（Number）
│
├── 实数（Real Number）— 数轴上能画出来的所有数
│   │
│   ├── 有理数（Rational Number）— 能写成两个整数之比的数
│   │   ├── 自然数（Natural Number）：0, 1, 2, 3, ...
│   │   ├── 整数（Integer）：..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
│   │   └── 分数（Fraction）：1/3, 2/5, -7/4, ...
│   │
│   └── 无理数（Irrational Number）— 不能写成分数的数
│       ├── 代数无理数：√2, √3, ...（方程的解但不是分数）
│       └── 超越数：π, e, ...（不是任何整系数方程的解）
│
└── 复数（Complex Number）— 实数的扩展
    ├── 实部 + 虚部：a + bi
    ├── 纯虚数：i, 2i, -3i（实部为 0）
    └── i = √(-1)（虚数单位）

实数（Real Number）

数轴上每一个点都对应一个实数。实数的关键特性：连续、无间隙。

数轴：
...── -2 ── -√2 ── -1 ── 0 ── 1/3 ── 1 ── √2 ── π ── 4 ──...

有理数 vs 无理数

复数（Complex Number）

实数无法解决 x² = -1 这种方程，于是数学家引入了 虚数单位 i（i² = -1），将数扩展到复数域。

复数 = 实部 + 虚部 × i
例：3 + 4i（实部 3，虚部 4）

复数在电气工程（交流电路分析）、信号处理（傅里叶变换）、量子力学中不可或缺。

自然数、整数、有理数、实数的关系

自然数 ⊂ 整数 ⊂ 有理数 ⊂ 实数 ⊂ 复数
  1,2,3   -1,0,1   1/3,0.25   π,√2    3+4i

每一层都是上一层的"子集"——范围越来越大。

第二层：计算机如何表示数

计算机只有有限的内存位（bit），所以不可能精确表示所有数学上的数，必须做取舍。

数制（Numeral System）

同一个数可以用不同的进制表示：

进制转换（以 13 为例）：

十进制 13
= 8 + 4 + 1
= 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰
= 二进制 1101

# Python 进制转换
n = 255
bin(n)  # '0b11111111'（二进制）
oct(n)  # '0o377'（八进制）
hex(n)  # '0xff'（十六进制）

# 反向转换
int('1101', 2)   # 13
int('ff', 16)    # 255

计算机中的数的类型

关键认知：无理数在计算机中永远只能近似表示。π 的二进制是无限长的，任何有限位数的存储都只能截断。

整数存储：补码

计算机用补码（Two's Complement） 存储有符号整数：

8 位有符号整数（范围 -128 ~ 127）：

 正数：直接存二进制
  5  → 00000101

 负数：取反加一
 -5  → 00000101 → 取反 11111010 → 加一 11111011

 最高位是符号位：0 = 正，1 = 负

# Python 查看整数的二进制
bin(5)     # '0b101'
bin(-5)    # '-0b101'（Python 用符号表示，不直接显示补码）

# 手动看补码
(-5) & 0xFF   # 0xFB = 251（8位补码的无符号值）
bin((-5) & 0xFF)  # '0b11111011'

浮点数存储：IEEE 754

详见 浮点数 笔记。简要回顾：

float32: [1位符号] [8位指数] [23位尾数]   → ~7 位有效数字
float64: [1位符号] [11位指数] [52位尾数]  → ~15 位有效数字

复数存储

Python 内置 complex 类型，用两个 float64 存储实部和虚部：

z = 3 + 4j
z.real  # 3.0（实部）
z.imag  # 4.0（虚部）
abs(z)  # 5.0（模 = √(3²+4²)）

import cmath
cmath.phase(z)  # 0.9273...（辐角，弧度）

十进制 ↔ 二进制：精度陷阱

同一个数在不同进制下，可能是有限小数，也可能是无限循环小数：

这就是浮点精度问题的根源：很多十进制中的"简单小数"（如 0.1），在二进制下是无限循环的，float 只能截断存储。

# 验证
from decimal import Decimal
Decimal(0.1)  # Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')
# 0.1 在 float64 中的真实存储值，不是精确的 0.1

数的表示总结

数学世界                        计算机世界
─────────                    ─────────
自然数  1, 2, 3...     →     uint8/uint16/uint32（精确）
整数    ..., -1, 0, 1  →     int8/int16/int32（精确，补码）
有理数  1/3, 0.25      →     float（近似）/ Fraction（精确）
无理数  π, √2, e       →     float（近似，永远不精确）
复数    3+4i            →     complex（两个 float，近似）

理解这个映射关系，是理解计算机中所有数值计算的基础。

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